Định lý Viet là một số trong những số những kỹ năng và kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề liên tục Open trong những kì thi học viên giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy ngày hôm nay Kiến Guru xin gợi ý đến bạn đọc một số ít ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hài hòa và hợp lý thuyết, vừa đề ra những ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp những bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:
I. Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.
Định lý Viet hay hệ thức Viet biểu lộ quan hệ giữa những nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète mày mò ra.
1. Định lý Viet thuận.
Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:
Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta hoàn toàn có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số ít trường hợp đặc biệt:
- Nếu a+b+c=0 thì (*) có một nghiệm x1=1 và x2=c/a
- Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
2. Định lý Viet đảo.
Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức:
thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).
Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là vấn đề kiện để ∆(1)≥0 hay nói cách khác, đấy là điều kiện kèm theo kèm theo để phương trình bậc 2 sống sót nghiệm.
Để nắm vững những công thức toán và cách vận dụng vào môn Toán một cách thuận tiện đạt điểm 8+. Bạn hãy nhấn vào tìm hiểu ngay khóa học: Bứt Phá Điểm 8+ Môn Toán Lớp 10. Đồng hành cùng bạn là Thầy Mạnh có hơn 6 năm kinh nghiệm tay nghề giảng dạy và Ôn thi Đại Học. Đặc biệt, nhà Kiến gửi khuyến mãi bạn ƯU ĐÃI 73% HỌC PHÍ khi ĐK trong hôm nay!
II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.
1. Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.
Nếu 2 số u và v thỏa mãn:
thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.
Như vậy, việc xác lập hai số u, v sẽ trở lại bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:
- Nếu S2-4P≥0 thì sống sót u,v.
- Nếu S2-4P<0 thì không sống sót số nào thỏa mãn.
Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.
Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:
Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.
Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.
Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)
Ta cần biến hóa hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:
- Trường hợp 1:
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm kiếm được x1=3, x2=2
- Trường hợp 2:
suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm ra x1=-2, x2=-3.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ tiến hành một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.
Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn thuần hơn.
Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.
Giải phương trình trên được:
- Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta sở hữu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
- Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)
2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.
Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 lẫn nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:
- Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn sống sót cách màn trình diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
- Một số biểu diễn quen thuộc:
- Áp dụng hệ thức Viet, ta tính giá tốt trị biểu thức cần tìm.
Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:
Thế vào ta tính được S.
Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:
Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau này sẽ đã có được giá tốt trị của S7.
3. Áp dụng định lý Viet vào những bài toán có tham số.
Đối với những bài toán tham số, điều kiện kèm theo tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình sống sót nghiệm. Sau đó vận dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ sở hữu được những hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, tích phù hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.
Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).
Hãy xác định giá trị của tham số để:
- Có đúng 1 nghiệm âm.
- Có 2 nghiệm trái dấu.
Đặc biệt, do ở thông số a có chứa tham số, thế cho nên ta cần xét hai trường hợp:
Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.
Lúc này, điều kiện kèm theo kèm theo là:
Ví dụ 6: Tìm toàn bộ giá trị m thỏa mãn nhu cầu nhu cầu phương trình bậc 2 sau:
tồn tại nghiệm x1, x2 phân biệt sao cho:
Điều kiện để phương trình sống sót 2 nghiệm phân biệt:
Khi đó phụ thuộc vào hệ thức Viet:
Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:
Kết phù hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa nhu yếu bài toán.
Trên đấy là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng trải qua bài viết, những các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có được thật nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính do vậy, hãy tự do vận dụng một cách phát minh sáng tạo những gì bạn học được nhé, vấn đề này sẽ tương hỗ cho những bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, những bạn hoàn toàn có thể đọc thêm các nội dung bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức và kỹ năng của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!
